Anche se sono d'accordo con la prima parte della risposta di @MatthewHerbst, non sono assolutamente d'accordo con il suo suggerimento di “perdere” il vostro passaporto, quindi prendete questo come un commento molto esteso se lo desiderate:
Dipende un po’ dalla vostra nazionalità se avete bisogno di un visto Schengen per il Regno Unito o se avete diritto a un permesso di soggiorno all'arrivo.
Tuttavia in entrambi i casi, sia nella domanda di visto e sia all'immigrazione, vi potrebbe essere chiesto se in precedenza avete soggiornato oltre i termini o se avete avuto un divieto da qualche paese. È una pessima idea mentire in questo contesto.
** Mentre “perdere” un passaporto potrebbe sembrare inizialmente un'idea intelligente, soprattutto nel caso in cui non sia necessario richiedere un visto, consiglio vivamente di non farlo.** Perdere il passaporto significa che da qualche parte ci sarà una segnalazione della polizia su un passaporto smarrito e le agenzie di sicurezza sono sensibili a questo, poiché una strategia simile è usata anche dai “turisti del terrore” nei campi in Afghanistan-Pakistan-Siria o in qualsiasi altro posto il mondo sia in fiamme in questo momento. C'è la possibilità che l'immigrazione ne stia venendo a conoscenza e vi darà un ulteriore controllo. A questo punto non sarei affatto sorpreso se le autorità del Sudafrica e del Regno Unito, ma anche di Schengen, condividessero l'accesso alle loro banche dati e sapessero già del vostro soggiorno oltre il termine previsto, e ora saranno molto curiosi di sapere perché avete “perso” il vostro passaporto così di recente.
Concludo citando da questa eccellente risposta su un'altra domanda, citando le procedure del Regno Unito:
La strategia di nascondere un evento migratorio avverso “perdendo” il proprio passaporto e ottenendo un passaporto fresco e integro è una pessima strategia. C'è una storia associata al passaporto che non viene spiegata nelle sue pagine fisiche, ma piuttosto nei sistemi informatici collegati al numero del passaporto. E un nuovo passaporto contiene un record che lo collega al precedente. La gente prova ancora questa strategia, tuttavia, e quando viene beccata i risultati sono catastrofici.
Se il Regno Unito becca qualcuno che lo fa, verrà registrato (insieme ai dati biometrici) come violazione del paragrafo 320 delle Regole sull'Immigrazione. Questo di solito significa che la persona può dimenticare di venire qui per molto tempo, se mai. Inoltre, ne parlerà con il Dipartimento di Sicurezza Nazionale degli Stati Uniti (indipendentemente dalla sua nazionalità). Se la vostra biometria viene conservata per 12 anni se la vostra storia è pulita, e a tempo indeterminato se rientrate nel Paragrafo 320, la vostra biometria viene conservata per 12 anni.